МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
В аналитической практике часто возникает потребность в выравнивании экспериментальных
данных прямой линией. За примерами далеко ходить не надо. Это, например, фотометрия,
ионометрия и т.п.
В качестве основополагающего принципа обычно используют метод наименьших квадратов.
Он состоит в следующем. Если мы намерены выровнять свои экспериментальные данные
прямой y = ax + b с параметрами а и b, то оптимально это можно сделать, найдя
минимум функции
(Квадратные скобки означают суммирование.)
Дальнейшие расчеты приводят к необходимости решения системы 2-х уравнений:
[y]=a[x]+ b n
[xy]=a[x2] + b[x] |
где n - число экспериментальных точек.
Из этой системы уравнения следует, что
|
a = (n [xy] - [y][x])/(n[x2] - ([x])2)
b = ([y][x2] - [xy][x])/(n[x2] - ([x])2)
|
Применяя эти формулы, следует помнить о том, что не всегда их применение
может дать ожидаемый положительный эффект. В том случае, если известно, что
прямая должна непременно иметь свободный параметр b, то для правильной минимизации
следует использовать следующую формулу:
Если прямая должна иметь наклон a, то лучший результат дает формула
После того, как найдены оптимальные значения
параметров a и b,
интересно знать погрешность, с которой были проведены вычисления. Стандартные
отклонения оцениваются следующим образом:
SA2 = S2 n/(n[x2] - ([x])2)
SB2 = S2[x2]/(n[x2]
- ([x])2) |
S2 - квадрат стандартного отклонения равный [(y-ax-b)2]/(n-1)
.
|
